triangulo rectángulo 

En geometría euclídea plana se denomina triángulo rectángulo a cualquier triángulo con un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados. Las razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo es un enfoque de la trigonometria plana. En particular, en un triángulo rectángulo, se cumple el llamado teorema de Pitágoras ya conocido por los babilonios.

terminologia y casos especiales

Se denomina hipotenusa al lado mayor del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto. Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto; cada cateto se opone a un ángulo agudo. Sólo si la medida de los tres lados son números enteros, éstos constituyen un trío de nombre terna pitagorica.

0. ${\displaystyle sen{\frac {\pi }{4}}={\frac {cateto}{hipotenusa}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}}$

Un triángulo rectángulo escaleno muy conocido, es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la hipotenusa, y estos dos lados forman un ángulo agudo de 30º y el otro ángulo de 60º, (30-90-60) y se obtiene al bisecar un triángulo equilátero por su altura; resultan estas razones entre dichos lados. Si admitimos que el lado del triángulo equilátero es ${\displaystyle 2a}$ y mediante una altura se obtienen dos triángulos rectángulos, tal que en cada uno la hipotenusa es ${\displaystyle 2a}$ ; cateto opuesto al ángulo de 30º, ${\displaystyle a}$ y cateto opuesto al ángulo de 60º, ${\displaystyle a{\sqrt {3}}}$, se obtienen los siguientes valores de los respectivos senos:

1. ${\displaystyle sen{\frac {\pi }{6}}={\frac {cateto_{menor}}{hipotenusa}}={\frac {a}{2a}}={\frac {1}{2}}}$

2. ${\displaystyle sen{\frac {\pi }{3}}={\frac {cateto_{mayor}}{hipotenusa}}={\frac {a{\sqrt {3}}}{2a}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

teorema de altura

El teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:

Teorema de la altura (forma 1)

En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media geométrica entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa.

Demostración

La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que:

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por ${\displaystyle hn}$ se tiene:

por lo que

Otra forma del mismo teorema

La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.

   ;    ${\displaystyle n={\frac {c^{2}}{a}}\,}$

${\displaystyle h={\sqrt {m\,n}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{a}}{\frac {c^{2}}{a}}}}}$

 lo que al simplificar en el último término de la ecuación  la raíz con los cuadrados nos conduce a:

Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.

La ecuación  nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema:

Teorema de la altura (forma 2)

En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.

Teorema del cateto

El teorema del cateto establece lo siguiente:

Teorema del cateto

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección ortogonal de ese cateto sobre la hipotenusa.

Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

${\displaystyle b^{2}\ =\ c\;m}$

${\displaystyle a^{2}\ =\ c\;n}$

Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.

Demostración

Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.

Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:

1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.

Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

• Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC

${\displaystyle {\frac {b}{m}}={\frac {c}{b}}}$

de donde,

${\displaystyle b^{2}\ =\ cm}$

• Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC

${\displaystyle {\frac {a}{n}}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle a^{2}\ =\ cn}$

y el teorema queda demostrado.