IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen ²α como (sen α)². Lo mismo se aplica a las demás funciones 

trigonométricas.

RELACIONES BÁSICAS

Relación pitagórica	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$
Identidad de la razón	${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}}$

De estas dos identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si  la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener el signo correcto se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.

En términos de

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

${\displaystyle \tan {x}={\frac {\operatorname {sen} {x}}{\cos {x}}}\qquad \cot {x}={\frac {1}{\tan {x}}}={\frac {\cos {x}}{\operatorname {sen} {x}}}}$

${\displaystyle \sec {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \csc {x}={\frac {1}{\operatorname {sen} {x}}}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\operatorname {sen}(x+2\pi )\qquad \cos(x)=\cos(x+2\pi )\qquad \tan(x)=\tan(x+\pi )}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(-x)=\operatorname {sen}(x+\pi )\qquad \cos(-x)=-\cos(x+\pi )}$

${\displaystyle \tan(-x)=-\tan(x)\qquad \cot(-x)=-\cot(x)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \cos(x)=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \tan(x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

${\displaystyle a\operatorname {sen}(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \operatorname {sen} \left(x+\arctan {\frac {b}{a}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\left(x\right)+\cos ^{2}\left(x\right)=1}$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

${\displaystyle \tan ^{2}\left(x\right)+1=\sec ^{2}\left(x\right)}$

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

${\displaystyle \cot ^{2}\left(x\right)+1=\csc ^{2}\left(x\right)}$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {\tan {x}}{\sqrt {1+\tan ^{2}(x)}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(x)}}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sec {x}}}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$

Ejemplo 2:

TEOREMAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ ${\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan(x)\pm \tan(y)}{1\mp \tan(x)\tan(y)}}}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

${\displaystyle \operatorname {sen}(\pi \pm x)=\mp \operatorname {sen}(x)}$

${\displaystyle \cos(\pi \pm x)=-\cos(x)}$

${\displaystyle \tan(\pi \pm x)=\pm \tan(x)}$

${\displaystyle \csc(\pi \pm x)=\mp \csc(x)}$

Para ángulos complementarios:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cos(x)}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\operatorname {sen}(x)}$

${\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cot(x)}$

${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sec(x)}$

${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\csc(x)}$

${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\tan(x)}$

Para ángulos opuestos:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left(-x\right)=-\operatorname {sen} \left(x\right)}$

${\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)}$

${\displaystyle \tan \left(-x\right)=-\tan \left(x\right)}$

${\displaystyle \csc \left(-x\right)=-\csc \left(x\right)}$

${\displaystyle \sec \left(-x\right)=\sec \left(x\right)}$

${\displaystyle \cot \left(-x\right)=-\cot \left(x\right)}$

IDENTIDADES DEL ANGULO MÚLTIPLE 

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

IDENTIDADES DEL ANGULO DOBLE, TRIPLE Y MEDIO

Pueden obtenerse emplazándolo y por x (o sea ${\displaystyle \operatorname {sen}(x+x)=\operatorname {sen}(2x)}$) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando ${\displaystyle n=2}$

Fórmula del ángulo doble
${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 2\theta &=2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\,}$	${\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}\,}$
Fórmula del ángulo triple
${\displaystyle \operatorname {sen} 3\theta =3\operatorname {sen} \theta -4\operatorname {sen} ^{3}\theta \,}$	${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$	${\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}}$
Fórmula del ángulo medio
${\displaystyle \operatorname {sen} {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \cot {\tfrac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta }$

IDENTIDADES PARA LA REDUCCIÓN DE EXPONENTES 

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sen²(x).

Seno	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}\theta ={\frac {3\operatorname {sen} \theta -\operatorname {sen} 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$
Coseno	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}}$
Otros	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {\operatorname {sen} ^{3}2\theta }{8}}}$

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

Fórmulas y ecuaciones trigonométricas

Uso de fórmulas trigonométricas para resolver ecuaciones trigonométricas. Ecuación fundamental, ángulo suma, ángulo mitad, ángulo doble. Ejercicios resueltos.

Matemáticas  1º de Bachillerato  10 Fórmulas y ecuaciones trigonométricas

Fórmulas trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones.

Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de aplicar la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.